Bocchi nacque a Parma il 24 agosto 1883 da padre decoratore. La sua formazione ebbe inizio al Regio Istituto di Belle Arti della sua città; diplomatosi nel 1901, proseguì gli studi a Roma presso la Scuola Libera di Nudo.
Qui conobbe artisti come Giovanni Costa, Giulio Aristide Sartorio, Giacomo Balla e Duilio Cambellotti, mentre approfondiva lo studio delle opere di Matisse, Renoir e Klimt.
Bocchi divenne noto soprattutto per i suoi ritratti femminili. Il suo stile era contraddistinto dalla grande luce, i colori brillanti e un elegante trattamento della figura umana.
Fu influenzato dalle grandi correnti di inizio Novecento, come il Simbolismo e l’Art Nouveau, ma mantenne uno stile personale che combinava diversi elementi.

Nel 1910 fu ammesso per la prima volta alla Biennale di Venezia. Nello stesso anno si trasferì a Padova, dopo insieme ad Achille Casanova lavora agli affreschi nella basilica di Sant’Antonio, perfezionandosi così in questa tecnica. Ebbe modo di cimentarsi con la decorazione anche con il progetto per il restauro della Sala d’Oro del Castello di Torrechiara, affrescata originariamente da Benedetto Bembo nel XV secolo. Tra il 1913 e il 1915, invece, gli venne commissionata la decorazione della Sala del Consiglio della Cassa di Risparmio di Parma: elaborò una trilogia di affreschi, con “Il Risparmio”, “La Protezione” e “LA Ricchezza”, in pieno stile Liberty, molto apprezzato dalla critica.

Allo scoppio della Prima Guerra mondiale si trasferì definitivamente a Roma presso la Villa Strohl-Fern, luogo messo a disposizione dal ricco mecenate francese Alfred Wilhelm Strohl. Qui continuerà a dipingere ritratti, nudi femminili e paesaggi, avendo modo di interagire anche con gli altri pittori romani.

Partecipò ancora alla Biennale di Venezia negli anni seguenti e divenne Accademico di San Luca; ricevette una medaglia d’oro per il suo dipinto Bianca in abito da sera esposto nel 1926 a Monza.

Molti dei suoi ritratti avevo come soggetti i suoi familiari, a figlia Bianca e la moglie Niccolina.

Nel 1967 l’Accademia di San Luca dedicò a Bocchi la prima importante mostra retrospettiva.
Nel 1972, invece, ricevette la Medaglia d’Oro italiana al Merito per la Cultura e l'Arte dal Presidente della Repubblica.

Nei suoi ultimi anni si aprì alla sperimentazione artistica, morendo poi nella sua casa-studio a Villa Strohl-Fern il 16 dicembre 1976.

Oggi, Bocchi è considerato uno dei principali pittori figurativi italiani del XX secolo. Le sue opere sono conservate nei più importanti musei italiani, tra cui la Galleria Nazionale d'Arte Moderna e Contemporanea e la Galleria Nazionale di Parma. Un museo dedicato alla sua vita e alla sua opera è ospitato all'interno dell'APE Parma Museo.